图1 n根弦的星形弹性和粘弹性
Stability of elastic and viscoelastic star-shaped networks*
近年来，许多学者对粘弹性系统的稳定性问题进行了深入研究，如文献［1-2］.对于部分粘弹性材料，Rivera和Salvatierra［3］采用Lyapunov方法，证明了解的衰减速度同松弛函数衰减速度一致，类似结果在文献［4］及其参考文献中也得到了证明.此外，网络的稳定性研究也已经取得了较多结果，如文献［5-7］.最近，Han和Xu［8］采用Riesz基方法，研究了Timoshenko梁的星形网络，表明在一定条件下，闭环系统渐近稳定.Guo和Xu［9］采用Riesz基方法，进行了一般树形振动弦网络的渐近稳定性和Riesz基的生成研究.Xu和Yuan等［10］采用系统算子的谱分析方法，进行了Euler-Bernoulli梁的星形网络研究，证明了根向量序列的存在性.
星形网络由弹性和粘弹性2种不同类型的材料组成.由于星形弹性弦网络在能量空间中不是指数稳定的［11］，本文旨在添加粘弹性结构于星形弹性网络的末端，来讨论星形弹性和粘弹性网络是否指数稳定，其中n根弦的星形弹性和粘弹性网络如图1所示.
图1 n根弦的星形弹性和粘弹性
星形弹性和粘弹性网络方程为：
固定的边界条件和连接条件为：
初始条件为：
式中：i，j=1，2，3，…，N，λ∈(0，1)是弹性部分和粘弹性部分的分布比例，v0i(x)、v1i(x)是初始值，h0i(x，θ)是历史函数，a、b是正的材料常数.
对于松弛函数（g），假设：
（H）g：R-→R+是一个单调的连续可微函数，满足条件
并且存在一个正常数ρ，使得g′(θ)＞ρg(θ)，θ∈R-.
如文献［12］，设
则
成立.其中∂tui(x，t)=zi(x，t).
定义函数空间
是定义在区间[a，b]上的k阶Sobolev空间，其中
1，2，…，N.
设函数空间
对于
，定义V(Ω)中的范数为
(V(Ω)，‖·‖V)是一个Hilbert空间.
设
定义范数如下：
显然，
是一个Hilbert空间.
现定义空间
X=V(Ω)×L2(Ω).
具有范数
可知，X是一个Hilbert空间.
定义符号：
在X中定义一个算子A如下：
设U(t)=(v(x，t)u(x，t)w(x，t)z(x，t))T，则U(t)
满足
其中U0∈X是初始值.参考文献［13-16］，可得波网络（1）～（3）是适定的.
本节主要研究波网络（1）～（3）的稳定性.由于积分项的存在，本文利用Lyapunov函数方法.令
v(x，t)=(v1(x，t)，v2(x，t)，…，vN(x，t))T，
u(x，t)=(u1(x，t)，u2(x，t)，…，uN(x，t))T
是波网络（1）～（3）的一个解，并且
定义波网络（1）～（3）的能量函数
命题2.1 设E(t)被定义如式（8）.则
成立.
证明 设E(t)被定义如式（8）.计算
则式（9）成立.
使用命题 2.1，可以得到波网络（1）～（3）解的有界性.
定理2.1 设g满足条件（H），U(t)=(v(x，t)，u(x，t)，w(x，t)，z(x，t))T是（1）～（3）的解.
则
成立.
在上一小节中，得到了波网络（1）～（3）解的有界性.在本小节中，将讨论解的衰减性质.为此，构造新的Lyapunov泛函.
首先，定义一个函数
式中：wi(x，t)=∂tvi(x，t)，zi(x，t)=∂tui(x，t).
命题2.2 设E1(t)定义如前所述.则对充分小的δ＞0，
证明 设E1(t)被定义如式（10）.计算
设δ＞0充分小.通过Young不等式，得到
和
对最后一项，估计
其中
是庞加莱系数.因此，不等式（11）成立.
引进函数
其中k≤min{a，b}.
定义函数
命题2.3 设E2(t)被定义如式（13）.则
证明 计算
式中：ℓ=max{ℓi，i=1，2，…，N}.因此，得到不等式（14）成立，证明完成.
最后，构造函数
式中：γ、γ1、γ2是正常数.
应用命题2.1～2.3的结果，有估计
定理2.2 设k=min{a，b}，ℓ=max{ℓi，i=1，2，···，N}，且δ＞0充分小.此外，设g(θ)满足条件（H）.如果星形网络结构满足
则系统（1）～（3）的能量函数指数衰减.
证明 为了使L(t)前面的系数都小于0，得到
则有
设δ＞0充分小，并且选择
使得
，通过解不等式（18），得到式（16）.选定γ1、γ2，解式（17）的最后一个不等式，得到
由以上计算过程，可知存在正常数α，使得
另一方面，通过函数E1(t)、E2(t)和E(t)的定义，当γ足够大时，存在一个正常数β，满足|γ1E1(t)+γ2E2(t)|＜βE(t).这表明
式中：m=γ-β和M=γ+β.由式（19）和（20），可得
因此，有E(t)≤
证毕.
作为定理2.2的一个应用，给出波网络解的渐近行为.
推论 2.1 设U(t)=(v(x，t)，u(x，t)，∂tv(x，t)，∂tu(x,t))是波网络（1）～（3）的解.假设g满足条件（H），并且星形网络的结构满足式（16）.则存在2个正常数K和κ，使得
在MatLab环境下，时间上采用隐式欧拉法（时间步长dt=0.02），空间上采用二阶中心差分法（空间网格尺寸N=40）.为简单起见，假设星形网络由3条边组成，其每条边波的长度为
ℓ1=1，ℓ2=1.5，ℓ3=2.
则ℓ=max{1，1.5，2}=2.
选择a=5，b=2，λ=0.6＜1，v0(x)=
和
满足条件（H），不同长度的波稳定性数值仿真结果如图2所示.图2表示长度分别为ℓ1=1，ℓ2=1.5，ℓ3=2的波随着时间t的增长逐渐趋于稳定.
图2 不同波长的波的稳定性
（a）ℓ1=1；（b）ℓ2=1.5；（c）ℓ3=2
本文证明了星形弹性和粘弹性网络是指数稳定的，这为后续推广到一般网络的稳定性提供了可能性，未来可以通过改变弹性部分和粘弹性部分的分布比例，研究更加复杂网络的稳定性.
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