DOI：10.19789/j.1004-9398.2022.02.001

文献引用：关新雨，侯庆虎.二元差分域上一阶差分方程的多项式解[J].首都师范大学学报（自然科学版），2022，43（2）：1-6.GUAN X Y，HOU Q H.Polynomial solutions of the first order difference equations in the bivariate difference field[J].Journal of Capital Normal University（Natural Science Edition），2022，43（2）：1-6.

二元差分域上一阶差分方程的多项式解*

关新雨，侯庆虎

（天津大学数学学院，天津 300350）

摘要：本文研究了在二元域F(α，β)（α、β是域F上代数无关的超越元）上一阶线性差分方程aσ(f)+bf=g的多项式解 f，式中 a、b、g是二元域 F(α，β)上的已知多项式，σ是域 F(α，β)上满足σ(α)=β，σ(β)=uα+vβ的域同构，其中u，v≠0.通过多项式次数分解得到多项式解f存在的性质，然后根据待定系数法求得多项式f，并给出了这类差分方程多项式解在符号求和方面的应用.

关键词：差分方程；多项式解；次数分解；二元差分域

中图分类号：O157.1

收稿日期：2021-01-08

*国家自然科学基金项目（11771330）

Polynomial solutions of the first order difference equations in the bivariate difference field*

GUAN Xinyu，HOU Qinghu
（School of Mathematical Science，Tianjin University，Tianjin 300350）

Abstract：This paper study polynomial solutions of the difference equation aσ(f)+bf=gin the bivariate difference field F(α，β)，where α，βare two algebraically independent transcendental elements，σis a transformation that satisfies σ(α)= β，σ(β)=uα+vβ，u，v≠ 0，a，b，gare known binary polynomials in F(α，β).The nature of the polynomial solutionfis obtained by decomposition of the polynomial degree，and then the polynomialfis obtained according to the undetermined coefficient method.And some examples are given to illustrate the applications of this class of difference equations in symbolic summation.

Keyword：difference equations；polynomial solutions；degree decomposition；bivariate difference fields

CLC：O157.1

0 引 言

1 差分方程σ(f)±f=g的多项式解

1.1 σ(f)±f=g的多项式解存在的性质

1.2 σ(f)±f=g的多项式解的次数

2 差分方程aσ(f)+bf=g(deg a＞0，deg b＞0）的多项式解

2.1 差分方程多项式解存在

2.2 差分方程多项式解不存在

定理3和定理4只给出了aσ()f+bf=g存在多项式解时的性质，差分域（F(α，β)，σ）上并不是所有的差分方程aσ()f+bf=g都存在多项式解，下面例4就是多项式解不存在的一个简单例子.

例4 差分方程σ(f)+f=α2的多项式解不存在，具体如下：

a=1，b=1，由定理2，若此差分方程存在多项式解，那么一定存在次数为2的多项式解.因方程右边为二次齐次多项式，故f应该是二次齐次的，设f=c1α2+c2β2+c3αβ，待定系数法求多项式 f的各项系数 c1、c2、c3，即

此方程组无解，差分方程多项式解不存在.

同样地，βσ(f)+ αf= α2，(α+ β)σ(f)+ βf=α2也不存在多项式解 .表明，差分域（F(α，β)，σ）上差分方程aσ()f+bf=g存在多项式解的条件仍需进一步研究.在用待定系数法求解多项式解各项未知系数时，可用矩阵方程理论中系数矩阵与增广矩阵有相同的秩这一充要条件判断多项式解是否存在.

3 应用及符号求和

利用这类差分方程的多项式解和伸缩法，计算斐波那契序列与Apéry数的不定和，重点计算了斐波那契数列的求和.本节采用的方法需要选取恰当的a、b，求得对应差分方程aσ(f)+bf=g的多项式解，得到关于 Fk、Fk+1或 Ak、Ak+1的不定和，优越性在于只需求得特定差分方程的多项式解，便可直接得出求和结果.具体如下：

3.1 方程式（9）应用

3.2 方程式（10）应用

3.3 方程式（11）应用

3.4 符号求和

4 结束语

Karr考虑差分域（F，σ）的延拓（F(t)，σ），满足一阶（非齐次）递推的序列可用该模型来描述.本文引入二元差分域(F(α，β)，σ)，σ是域F(α，β)上满足σ(α) = β，σ(β)=uα+vβ的域同构，其中 u、v≠ 0，来描述满足二阶线性递推关系的序列.因为差分方程的有理解通过估计万有分母可转化为多项式解，所以研究差分域(F(α，β)，σ)上差分方程的多项式解是研究其有理解、超几何解等的基础.后续将继续研究一般差分方程aσf+bf=g的多项式解次数上界，以及一般情形（deg a≠0，deg b≠0）的应用.

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（责任编辑：马田田）