0 引言
振动现象在自然界中广泛存在，而简谐振动是最简单、最基本的振动形式.在力学中，常利用弹簧振子系统来研究简谐振动.事实上，弹簧振子是一个理想模型，系统中的弹簧是“轻”弹簧，其质量忽略不计.弹簧作为日常生活中一种广泛使用的弹性元件，具有吸收振动和冲击能量的功能，在车辆和坦克中有重要应用［1-3］.因此，考虑弹簧质量对运动状态的影响是必要的.关于质量均匀分布的弹簧的振动特性问题，在很多文章中都有讨论［4-11］.杨建宋［12］和谢利民［13］运用瑞利近似的方法，求出了弹簧系统的振动频率，并给出了弹簧的等效质量；丁履成和司明扬［14］利用牛顿定律，通过严格求解证实弹簧振动的周期与振子的质量和弹簧的质量有关.然而，弹簧质量对振动特性的影响以及高阶模式对体系运动状态的影响有多大，以上问题并未见文献报道.本文主要探讨了在给定初始条件的情况下，弹簧质量对振子的振动特性以及体系波动特性的影响.
1 弹簧的波动方程及本征频率
1.1 波动方程
假设质量均匀分布的弹簧，其质量为m，自然长度为l，劲度系数为k，弹簧的左端固定，右端连接一个质量为M 的振子（图1）.将弹簧离散成n 个小弹簧，每一小段的长度为Δx，并设弹簧上距离左端固定处O 点的距离为x 处的一小段弹簧为Δx，偏离原来位置的位移为y，该小段弹簧的伸长量为Δy，那么该小段弹簧的劲度系数为
其质量为［15-16］
图1 弹簧振子形变示意
在振动过程中，弹簧不断地拉伸或压缩.对于原长为Δx 的一小段弹簧，在某一时刻t，假定其左端受到的拉力大小为Fx，右端受到的拉力大小为Fx+Δx.由胡克定律可知，x 处的Δx 小段弹簧右端所受到的力为
则x 处Δx 小段弹簧受到的合力为
根据牛顿第二定律，式（1）可整理为
式中波速
1.2 本征频率
弹簧振子体系满足条件：
将边界条件代入波动方程得到本征频率，其中式（3）表示弹簧左端固定处O 点（x=0）任意时刻的位移y=0，式（4）表示x=l（自然长度）处，振子M 所受合力的表达式.
设y（x，t）=X（x）T（t）［17-18］带入式（2）得
因此，当考虑弹簧质量时，系统的振动模式是由无限多个简谐振动叠加而成.
将式（5）代入边界条件（3）和（4）可得本征方程
利用方程（7）可得到体系的本征值ωn，其为某一简谐振动的圆频率.由此可知，弹簧振子系统的振动频率只与
的值有关.如果给定初始条件，那么系数Cn 与ϕn 便可以确定，从而可以得到该系统的振动特性.
2 波动方程初始条件
2.1 一般初始条件
通常情况下，初始时刻将振子拉伸或压缩一段距离（初位移），那么弹簧各个点的伸长量（y）与速度（v）都是x 的函数，因此，初始条件的一般表达式为：
将波动方程的形式解（5）代入初始条件，再由傅里叶级数展开，整理得：
因此，只要给出Φ(x)和Ψ (x)的具体函数表达式，就可以得 出Bn 和Dn（或Cn和ϕn）的值（其中Cn=
2.2 特定初始条件
结合一个给定的初始条件，对各级振动特性作一个简单的分析.对于实验室常用的起振方法来说（初始时刻将振子拉伸到初位移A 处，且弹簧各点的速度都为0），初始条件变为
因为弹簧振子系统的运动是简谐振动的叠加，因此，系数A 只是将系统的各个量扩大A 倍，不会影响该系统的振动特性.为了方便运算，故设A=1.下文中，y 均表示与A 的比值.
将其代入式（10）和（11）得：
因而可以确定Cn= Dn，这样就可以得到弹簧的振动解为
由式（15）可知，弹簧振子体系的运动，是由无限多个本征频率的振动叠加而成，相应振子的运动方程为
利用式（6）代入式（16），整理得
由式（15）也可得到弹簧上任意一点，在t0 时刻的波动方程为
3 结果与分析
3.1 振子振动的本征频率
振子振动本征频率满足
，其中
.因此，振动频率比
仅与质量比
有关.通过求解超越方程，得到不同
对应的
如表1 所示.结果表明：m/M 越大，分别对应ωn/ωe 越大；n 越大，ωn/ωe 越大.通过计算显示，Δω= ωn+1 −ωn 的值基本相等，随着m/M 逐渐增加，----Δω 逐渐减小.当m →0 时，----Δω →π，即ωn=(n −1)π.对于基频振动，随着m/M 增大，ω1 增大，若弹簧的m 固定，随着振子的M 增大，基频频率降低，而当振子的M固定时，随着弹簧的m 增大，基频频率增大.
表1 不同质量比对应的振动频率比
注：ωi/ωe 表示第i 级振动频率（i 取值为1～7）；Δω/ωe 表示平均振动频率.
实际上，大多数弹簧振子系统中
的值是较小的，满足瑞利近似.弹簧基频振动频率（ω1）与ωe的比值随m/M 的变化情况如图2 所示.当弹簧m/M比较小时，2 种方法计算所得到的本征值的比值（ω1/ωe）基本相同；随着m/M 的增加（大约在m/M=2之后），瑞利近似的值比实际值偏大，且质量比值越大，瑞利近似就越不准确.因此，瑞利近似只适用于m/M 较小的时候.
图2 弹簧基频振动频率比随质量比的变化曲线
3.2 振子的振动特性
当m/M=10（比值较大）时，弹簧振子不同时间的振动如图3 所示.振子的振动模式主要由1 级振动模式决定，1 级振动模式的振幅占总振动模式的90%，且振子的振动周期也由1 级振动模式的周期决定，高阶分量对于振动特性的贡献不大.弹簧振子各级振动表明，振幅主要由1 阶分量确定，随着n的增加，振幅快速衰减.高阶分量对于振动特性的作用很小，基本可以忽略不计.
图3 弹簧振子不同时间的振动情况
（a）不同级叠加振动；（b）各级振动
3.3 弹簧振动过程中的波动特性
t=1/4T 时，弹簧各处的波动特性如图4 所示.当系统振动了1/4 周期时，弹簧m 越小，各个点基本处于平衡位置，弹簧的振动就越趋于简谐振动；弹簧m越大，振动就越复杂，1/4 周期时，弹簧各个位置都不在平衡位置，且离平衡位置的距离各不相同.结果表明，当考虑弹簧m 时，系统不可能同时处于平衡位置.
图4 弹簧振子的波动特性
t=1/4T，弹簧的质量很大时（取m/M=10），ωn 所对应的波动特性如图5 所示.随着ω 阶次的不断增加，振幅的大小先增加，在n=4 处，振幅达到最大，之后随着n 的增加振幅减小.因此，n=4 之后，高阶模对波动的影响会逐渐减弱.在t=1/4T 时，对于1 阶模来说，弹簧各个点应处于平衡位置，但实际情况还是偏离平衡位置，因此，1 阶模对波动的影响很弱.而对于其他阶模，当t=1/4T 时，则弹簧各个点并未处于平衡位置.因此，在t=1/4T 时，波动主要由2～4阶模决定.
图5 各级振动模式ωn 所对应的波动特性
当弹簧m 很大时（取m/M=10），系统经过n 个1/4T 与n 个3/4T 时，弹簧振子的波动如图6 所示.弹簧运动1/4、3/4、5/4 和7/4 个周期时，弹簧都没有回到平衡位置，对于弹簧的每个点来说，振幅（大小和方向）都不相同，有的压缩，有的伸长.随着时间的增加，这种现象越来越明显.因此，对于m 大的弹簧，振动与简谐振动有了很大的区别，各个点的运动不能完全重复上个周期的运动.
图6 不同周期弹簧振子的波动
4 结论
本文讨论了大质量弹簧的振动特性以及体系的波动特性.通过求解超越方程，得到体系的本征频率，结果表明：本征频率仅与m/M 有关. m/M 越大，ω 越大，且
值增大.大约m/M>2 之后，瑞利近似不再适用.振子的振动特性主要由1 级分量决定，高阶分量对于振动特性的贡献不大；当考虑弹簧的m 时，m 越大系统的振动就越复杂，弹簧无法同时处于平衡位置，并且不会重复上一周期的运动.
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