0 引 言
拓扑指数是分子结构的数学描述符，实现分子结构的数值化，反映分子的拓扑性质.近年来，研究图，尤其是分子图的拓扑指数的性质及应用，受到一些数学化学工作者的关注.1998年，Estrada等［1］提出了原子键连通性指数（atom-bond connectivity index，ABC指数）.该指数的定义为
其中E(G)是边的集合，du和dv分别是点u和点v的度.在 2010年，Furtula等［4］提出了图的增强型萨格勒布指数（augmented Zagreb index，AZI），该指数的定义为
该指数的预测能力已被证实在研究烷烃的热形成中，比ABC指数的预测能力更强，由于AZI提出时间不长，目前的研究成果不多，其部分数学性质在文献［2-7］中已被研究.本文将计算一些特定树和单圈图的AZI.
本文通过给出某些特殊树的AZI，计算某些特殊单圈图的AZI均为连通图，所有点的度不超过4的连通图称为化学图，其分子结构图可能类似于某些图，这是化学中应用图论的一个主要原因.
1 特殊树及烷烃的AZI
分支Bi是使i条长度为2的悬挂路与P2的一个端点v相邻形成的树，显然顶点v在分支Bi中的度为i+1（见图 1）.
图1 分支Bi
树
是将Pn=v1v2…vn的每个2度点与2个Bk的点u等同以及Pn的每个1度点和3个Bk的点u等同得到的（见图2）.
图2 树
在本节中，给出了特殊树
的AZI的公式.
定理1.1 设n和k是正整数（且n≥1，k≥2），树
的AZI为
证明 在树
中，显然有2n+2个Bk分支.在每一个Bk中包含3类边.类型1:该边有2个端点，一端度为1，一端度为2，共有k条此边；类型2:该边有2个端点，一端度为2，一端度为k+1，共有k条此边；类型3:该边的2个端点，一端度为k+1，一端度为4，共有1条此边.路径Pn中有n-1条边且每条边的端点的度都为4.
由图的AZI的定义，得到
烷烃是碳氢化合物，分子中的碳原子都以单键相连，其余价键都与氢结合而成，其化学式为G=CnH2n+2，其骨架结构如图3所示.
图3 CnH2n+2骨架结构
定理1.2 设n≥1且n∈N+，则图G=CnH2n+2（烷烃）的AZI指数为
证明 用数学归纳法证明，当n=1时，G=C1H4，骨架结构如图4所示.
图4 C1H4骨架结构
当n=k+1时，其图为G′，骨架结构如图6所示.
可知，图6在图5的基础上增加了3条边，则图6的AZI为
图5 CkH2k+2骨架结构
图6 G′骨架结构
综上，当n≥1时，图G=CnH2n+2（烷烃）的AZI为
2 特殊的单圈图及环烷烃的AZI
是n阶圈上每一个顶点都与p个悬挂点相邻得到的单圈图（见图7）.
图7 单圈
定理 2.1 设 n≥ 3，p≥ 1且 n，p∈N+，则
单圈图的AZI是
证明 用数学归纳法证明，当n=3时，则图
，于是有
从而当n=3时公式是成立的.假设当n=k(k≥4)时，
的 AZI满足公式，现证 n=k+1时，
的AZI满足公式.
单圈图如图8所示，令e表示连接点v1和点vk的边.
图8 单圈
图9 H单圈
令图9中的顶点u1分别与u2、u3和p个悬挂点相连.将H连接到图8
上，使u2与v1重合，u3与 vk重合，记 u1=vk+1，得
单圈图（见图 10）.
图10 单圈
可知，图10是在图8的基础上增加了p个悬挂点和一条边，则图10的AZI为
定理2.1中，如果p=2，则可得到化学中环烷烃(CnH2n)的AZI，其骨架结构如图11所示.
图11 CnH2n骨架结构
推论2.1 环烷烃CnH2n的AZI为
证明 定理2.1中令p=2可得.
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