特定树和单圈图下的增强型萨格勒布指数

甘 露,杜 颖,曹晓丽

(湖北师范大学数学与统计学院,湖北 黄石 435002)

摘要:图的增强型萨格勒布指数(augmented Zagreb index,AZI)是化学图论中一种新的拓扑指数,在化学中有很多应用.该指数由Furtula等提出,已被证实在辛烷和正庚烷的热形成研究中是一个有价值的预测性指数.本文将计算一些特定树和单圈图的AZI数值.

关键词:增强型萨格勒布(AZI);树;单圈图;烷烃;环烷烃

0 引 言

拓扑指数是分子结构的数学描述符,实现分子结构的数值化,反映分子的拓扑性质.近年来,研究图,尤其是分子图的拓扑指数的性质及应用,受到一些数学化学工作者的关注.1998年,Estrada等[1]提出了原子键连通性指数(atom-bond connectivity index,ABC指数).该指数的定义为

其中E(G)是边的集合,dudv分别是点u和点v的度.在 2010年,Furtula等[4]提出了图的增强型萨格勒布指数(augmented Zagreb index,AZI),该指数的定义为

该指数的预测能力已被证实在研究烷烃的热形成中,比ABC指数的预测能力更强,由于AZI提出时间不长,目前的研究成果不多,其部分数学性质在文献[2-7]中已被研究.本文将计算一些特定树和单圈图的AZI.

本文通过给出某些特殊树的AZI,计算某些特殊单圈图的AZI均为连通图,所有点的度不超过4的连通图称为化学图,其分子结构图可能类似于某些图,这是化学中应用图论的一个主要原因.

1 特殊树及烷烃的AZI

分支Bi是使i条长度为2的悬挂路与P2的一个端点v相邻形成的树,显然顶点v在分支Bi中的度为i+1(见图 1).

图1 分支Bi

是将Pn=v1v2vn的每个2度点与2个Bk的点u等同以及Pn的每个1度点和3个Bk的点u等同得到的(见图2).

图2 树

在本节中,给出了特殊树的AZI的公式.

定理1.1nk是正整数(且n≥1,k≥2),树的AZI为

证明 在树中,显然有2n+2个Bk分支.在每一个Bk中包含3类边.类型1:该边有2个端点,一端度为1,一端度为2,共有k条此边;类型2:该边有2个端点,一端度为2,一端度为k+1,共有k条此边;类型3:该边的2个端点,一端度为k+1,一端度为4,共有1条此边.路径Pn中有n-1条边且每条边的端点的度都为4.

由图的AZI的定义,得到

烷烃是碳氢化合物,分子中的碳原子都以单键相连,其余价键都与氢结合而成,其化学式为G=CnH2n+2,其骨架结构如图3所示.

图3 CnH2n+2骨架结构

定理1.2n≥1且n∈N+,则图G=CnH2n+2(烷烃)的AZI指数为

证明 用数学归纳法证明,当n=1时,G=C1H4,骨架结构如图4所示.

图4 C1H4骨架结构

n=k+1时,其图为G′,骨架结构如图6所示.

可知,图6在图5的基础上增加了3条边,则图6的AZI为

图5 CkH2k+2骨架结构

图6 G′骨架结构

综上,当n≥1时,图G=CnH2n+2(烷烃)的AZI为

2 特殊的单圈图及环烷烃的AZI

n阶圈上每一个顶点都与p个悬挂点相邻得到的单圈图(见图7).

图7 单圈

定理 2.1n≥ 3,p≥ 1且 np∈N+,则单圈图的AZI是

证明 用数学归纳法证明,当n=3时,则图,于是有

从而当n=3时公式是成立的.假设当n=k(k≥4)时,的 AZI满足公式,现证 n=k+1时,的AZI满足公式.单圈图如图8所示,令e表示连接点v1和点vk的边.

图8 单圈

图9 H单圈

令图9中的顶点u1分别与u2u3p个悬挂点相连.将H连接到图8上,使u2v1重合,u3vk重合,记 u1=vk+1,得单圈图(见图 10).

图10 单圈

可知,图10是在图8的基础上增加了p个悬挂点和一条边,则图10的AZI为

定理2.1中,如果p=2,则可得到化学中环烷烃(CnH2n)的AZI,其骨架结构如图11所示.

图11 CnH2n骨架结构

推论2.1 环烷烃CnH2n的AZI为

证明 定理2.1中令p=2可得.

参考文献

[1] ESTRADA E,TORRES L,RODRIGUEZ L,et al.An atom-bond connectivityindex:modelling the enthalpy of formation of alkanes[J].Indian J Chem,1998,37A:849-855.

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Certain trees and unicyclic graphs forAZI index

GAN Lu,DU Ying,CAO Xiaoli
(School of Mathematics and Statistics,Hubei Normal University,Huangshi Hubei 435002)

Abstract:The augmented Zagreb index(AZI)of a graph,which is a valuable predictive index in the study of the heat of formation in octanes and heptanes.In this paper,we obtain the general formular of the AZI for certain trees and unicyclic graphs,and their application in chemistry.

Keywords:augmented Zagreb index(AZI);tree;unicyclic graph;alkanes;cycloalkanes

中图分类号:O157.6

DOI:10.19789/j.1004-9398.2021.01.001

收稿日期:2019-09-06

(责任编辑:马田田)