时，该方程只在 k=3、4、6、8 时，有整数解；当 x，y中都不满足 
及引理1中情况(1)中的β=ω(n)-α-1=0，1 时，该方程只在 k=2、3、4、5、6、8 时，有整数解.摘要：以广义欧拉函数 φ3(n)与欧拉函数φ(n)混合方程φ(xy)=k(φ3(x)+φ3(y))为对象，探讨当x，y中至少有一数满足≤3时的正整数解.结合2个欧拉函数的性质，得到当x，y中至少有一数满足时，该方程只在 k=3、4、6、8 时，有整数解；当 x，y中都不满足 及引理1中情况(1)中的β=ω(n)-α-1=0，1 时，该方程只在 k=2、3、4、5、6、8 时，有整数解.
欧拉函数 φ(n)是数论中重要内容之一，其在理论研究和实际应用中都有着十分重要的意义[1].对于包含欧拉函数φ(n)的方程的正整数解的研究有着大量的研究成果，如文献[2-8].在将 Lehmer同余式从模素数的平方推广到模任整数的平方时[9]，Cai[10]引入了广义欧拉函数 φe(n).对于广义欧拉函数φe(n)的性质以及方程解的研究，有文献[11-16]进行了一定的研究，为探讨欧拉函数φ(n)与广义欧拉函数φe(n)结合的性质，本文将讨论广义欧拉函数 φ3(n)与欧拉函数 φ(n)混合方程式
的可解性问题.
(2)当x，y中都不满足
，且引理1中情况(1)中的β=ω(n)-α-1=0，1时，式(1)只在 k=2、3、4、5、6、8 时有整数解，且
当 k=2 时，式(1)有整数解 (x，y)=(1，3)、(1，4)、(1，6)、 (2，3)、 (3，1)、 (4，1)、 (6，1)、 (3，2)、(1，10)、(10，1)、(3，4)、(4，3)；
当 k=3 时，式(1)有整数解 (x，y)=(3，3)、(3，6)、(6，3)；
当 k=4 时，式(1)有整数解 (x，y)=(1，5)、(1，8)、(1，12)、(2，5)、(5，1)、(8，1)、(12，1)、(5，2)、(1，20)、(1，30)、(20，1)、(30，1)、(2，4)、(2，6)、(4，2)、(6，2)、(2，10)、(10，2)、 (3，5)、(3，8)、(5，3)、(8，3)、(3，16)、(16，3)、(3，22)、(22，3)；
当 k=5 时，式(1)有整数解 (x，y)=(2，22)、(22，2)、(3，11)、(11，3)、(3，25)、(25，3)；
当 k=6 时，式(1)有整数解 (x，y)=(3，12)、(12，3)、(3，15)、(3，24)、(15，3)、(24，3)；
当 k=8 时，式(1)有整数解 (x，y)=(2，8)、(2，12)、(8，2)、(12，2)、(2，20)、(2，30)、(20，2)、(30，2)、 (3，48)、 (48，3)、 (3，51)、 (3，96)、 (51，3)、(96，3)、 (3，30)、 (30，3)、 (3，132)、 (3，150)、(132，3)、(150，3).
证明 当 x，y中至少有一数≤3时，若求出1≤x≤3情况下式(1)的整数解，则由对称性就可得到1≤y≤3情况下的整数解，下文将就1≤x≤3的情况进行讨论，此时有当1≤x≤2时有φ3(x)=0，当 x=3时有 φ3(x)=1，而 φ(y)≥2为偶数.当 β = ω(n)-α-1=0，1时，φ3(x)与φ3(y)的值可能为
或
情况1.2.5 当
时，由式(1)可得
由式(9)有:当k=5时有φ(y)=10；当k=4时有 φ(y) =4；当 k=3时有 φ(y) =2.当φ(y)=2时，有
， 故 φ(y)=2舍去.当 k=5，φ(y)=10时，式(1)有整数解 (x，y)=(2，22).由对称性可得此时式(1)有整数解(x，y)=(22，2). 当 k=4，φ(y)=4 时，此时 y=5、8、10、12， 但是 (2，5) =1，y=8，12 不会使得
成立，故式(1)有整数解(x，y)=(2，10).由对称性可得此时式(1)有整数解 (x，y)=(10，2).
情况2.1.1 当
时，由式(11)有(6-k)φ(y)=3k.此时可得只当 k=4时，式(1)有整数解 (x，y)=(3，7)、(3，14). 由对称性可得式(1)有整数解 (x，y)=(7，3)、(14，3).
情况 2.1.2 当
时，由式(11)有 (6-k)φ(y)=2k.此时当k=4时，式(1)有整数解 (x，y)=(3，5)、(3，8). 由对称性可得式(1)有整数解 (x，y)=(5，3)、(8，3)； 当 k=5 时，式(1)有整数解(x，y)=(3，11).由对称性可得式(1)有整数解 (x，y)=(11，3).
情况 2.1.3 当
时，由式(11)有 (6-k)φ(y)=4k.此时式(1)可得，当k=2时，有整数解(x，y)=(3，4)，由对称性可得有整数解 (x，y) = (4，3)； 当 k = 4 时，有整数解(x，y)=(3，16)， 由对称性可得有整数解 (x，y)=(16，3)；当 k=5时，有整数解 (x，y)=(3，25)，由对称性可得有整数解(x，y)=(25，3).
情况2.1.4 当
时，由式(11)有(6-k)φ(y)=k.此时可得方程(1)无整数解.
情况2.1.5 当
时，由式(11)有(6-k)φ(y)=5k.此时可得，只当k=4时式(1)有整数解(x，y)=(3，22).由对称性可得式(1)有整数解 (x，y)=(22，3).
情况2.2.1 当
时，由式(12)有 (9-k)φ(y)=3k.此时可得，当k=8时，式(1)有整数解 (x，y) =(3，39)、(3，45)、(3，72)、(3，78)、(3，84)、(3，90). 由对称性可得式(1)有整数解 (x，y)=(39，3)、(45，3)、(72，3)、(78，3)、(84，3)、(90，3).
情况2.2.2 当
时，由式(12)有(9-k)φ(y)=2k.此时式(1)可得，当k=6时，有整数解(x，y)=(3，12)，由对称性可得有整数解(x，y)=(12，3)；当 k=8 时，有整数解 (x，y)=(3，48).由对称性可得有整数解(x，y)=(48，3).
情况2.2.3 当
时，由式(12)有 (9-k)φ(y)=4k.此时式(1)可得，当k=3 时，有整数解 (x，y)=(3，3)、(3，6)，由对称性可得有整数解 (x，y)=(6，3)；当 k=6时，有整数解(x，y)=(3，15)、(3，24)， 由对称性可得有整数解(x，y)=(15，3)、(24，3)； 当 k=8 时，有整数解(x，y)=(3，51)、(3，96)， 由对称性可得有整数解(x，y)=(51，3)、(96，3).
情况2.2.4 当
时，由式(12)有(9-k)φ(y)=k.此时可得，只当k=8时，式(1)有整数解(x，y)=(3，30)，由对称性可得式(1)有整数解 (x，y)=(30，3).
情况2.2.5 当 
时，由式(12)有(9-k)φ(y)=5k.此时可得，只当 k=8时，式(1)有整数解 (x，y)=(3，132)、(3，150). 由对称性可得式(1)有整数解 (x，y) =(132，3)、(150，3).
结合以上讨论，可得定理1.
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Solutions of an Equations on Generalized Euler Function φ3(n)
Abstract:The positive integer solutions of equation φ(xy) = k(φ3(x)+ φ3(y))on generalized Euler function φ3(n)and Euler function φ(n)are discussed， when at least one number of x and y satisfies less than or equal to 3.Combining the calculation formula of generalized Euler function φ3(n)and the properties of Euler function φ(n)， the equation has positive integer solutions only at k=3，4，6，8 and the corresponding all positive solutions of it are obtained when at least one number of x， y is satisfied
，and the equation has positive integer solutions only at k=2，3，4，5，6，8 and β = ω(n)- α -1=0，1， the corresponding all positive solutions of it were obtained by using elementary method， when x， y are not satisfied
and in case(1)of lemma 1.