有关广义欧拉函数φ3(n)的一方程的解

姜莲霞 张四保

(喀什大学数学与统计学院,新疆 喀什 844008)

摘要:以广义欧拉函数 φ3(n)与欧拉函数φ(n)混合方程φ(xy)=k(φ3(x)3(y))为对象,探讨当xy中至少有一数满足≤3时的正整数解.结合2个欧拉函数的性质,得到当xy中至少有一数满足时,该方程只在 k=3、4、6、8 时,有整数解;当 xy中都不满足 及引理1中情况(1)中的β=ω(n)-α-1=0,1 时,该方程只在 k=2、3、4、5、6、8 时,有整数解.

关键词:广义欧拉函数 φ3(n);欧拉函数 φ(n);正整数解

0 引 言

欧拉函数 φ(n)是数论中重要内容之一,其在理论研究和实际应用中都有着十分重要的意义[1].对于包含欧拉函数φ(n)的方程的正整数解的研究有着大量的研究成果,如文献[2-8].在将 Lehmer同余式从模素数的平方推广到模任整数的平方时[9],Cai[10]引入了广义欧拉函数 φe(n).对于广义欧拉函数φe(n)的性质以及方程解的研究,有文献[11-16]进行了一定的研究,为探讨欧拉函数φ(n)与广义欧拉函数φe(n)结合的性质,本文将讨论广义欧拉函数 φ3(n)与欧拉函数 φ(n)混合方程式

的可解性问题.

1 引 理

2 结论及其证明

(2)当xy中都不满足,且引理1中情况(1)中的β=ω(n)-α-1=0,1时,式(1)只在 k=2、3、4、5、6、8 时有整数解,且

k=2 时,式(1)有整数解 (xy)=(1,3)、(1,4)、(1,6)、 (2,3)、 (3,1)、 (4,1)、 (6,1)、 (3,2)、(1,10)、(10,1)、(3,4)、(4,3);

k=3 时,式(1)有整数解 (xy)=(3,3)、(3,6)、(6,3);

k=4 时,式(1)有整数解 (xy)=(1,5)、(1,8)、(1,12)、(2,5)、(5,1)、(8,1)、(12,1)、(5,2)、(1,20)、(1,30)、(20,1)、(30,1)、(2,4)、(2,6)、(4,2)、(6,2)、(2,10)、(10,2)、 (3,5)、(3,8)、(5,3)、(8,3)、(3,16)、(16,3)、(3,22)、(22,3);

k=5 时,式(1)有整数解 (xy)=(2,22)、(22,2)、(3,11)、(11,3)、(3,25)、(25,3);

k=6 时,式(1)有整数解 (xy)=(3,12)、(12,3)、(3,15)、(3,24)、(15,3)、(24,3);

k=8 时,式(1)有整数解 (xy)=(2,8)、(2,12)、(8,2)、(12,2)、(2,20)、(2,30)、(20,2)、(30,2)、 (3,48)、 (48,3)、 (3,51)、 (3,96)、 (51,3)、(96,3)、 (3,30)、 (30,3)、 (3,132)、 (3,150)、(132,3)、(150,3).

证明xy中至少有一数≤3时,若求出1≤x≤3情况下式(1)的整数解,则由对称性就可得到1≤y≤3情况下的整数解,下文将就1≤x≤3的情况进行讨论,此时有当1≤x≤2时有φ3(x)=0,当 x=3时有 φ3(x)=1,而 φ(y)≥2为偶数.当 β = ω(n)-α-1=0,1时,φ3(x)与φ3(y)的值可能为

情况1.2.5 当时,由式(1)可得

由式(9)有:当k=5时有φ(y)=10;当k=4时有 φ(y) =4;当 k=3时有 φ(y) =2.φ(y)=2时,有, 故 φ(y)=2舍去.当 k=5,φ(y)=10时,式(1)有整数解 (xy)=(2,22).由对称性可得此时式(1)有整数解(xy)=(22,2).k=4,φ(y)=4 时,此时 y=5、8、10、12, 但是 (2,5) =1,y=8,12 不会使得成立,故式(1)有整数解(xy)=(2,10).由对称性可得此时式(1)有整数解 (xy)=(10,2).

情况2.1.1 当时,由式(11)有(6-k)φ(y)=3k.此时可得只当 k=4时,式(1)有整数解 (xy)=(3,7)、(3,14). 由对称性可得式(1)有整数解 (xy)=(7,3)、(14,3).

情况 2.1.2 当时,由式(11)有 (6-k)φ(y)=2k.此时当k=4时,式(1)有整数解 (xy)=(3,5)、(3,8). 由对称性可得式(1)有整数解 (xy)=(5,3)、(8,3); 当 k=5 时,式(1)有整数解(xy)=(3,11).由对称性可得式(1)有整数解 (xy)=(11,3).

情况 2.1.3 当时,由式(11)有 (6-k)φ(y)=4k.此时式(1)可得,当k=2时,有整数解(xy)=(3,4),由对称性可得有整数解 (xy) = (4,3); 当 k = 4 时,有整数解(xy)=(3,16), 由对称性可得有整数解 (xy)=(16,3);当 k=5时,有整数解 (xy)=(3,25),由对称性可得有整数解(xy)=(25,3).

情况2.1.4 当时,由式(11)有(6-k)φ(y)=k.此时可得方程(1)无整数解.

情况2.1.5 当时,由式(11)有(6-k)φ(y)=5k.此时可得,只当k=4时式(1)有整数解(xy)=(3,22).由对称性可得式(1)有整数解 (xy)=(22,3).

情况2.2.1 当时,由式(12)有 (9-k)φ(y)=3k.此时可得,当k=8时,式(1)有整数解 (xy) =(3,39)、(3,45)、(3,72)、(3,78)、(3,84)、(3,90). 由对称性可得式(1)有整数解 (xy)=(39,3)、(45,3)、(72,3)、(78,3)、(84,3)、(90,3).

情况2.2.2 当时,由式(12)有(9-k)φ(y)=2k.此时式(1)可得,当k=6时,有整数解(xy)=(3,12),由对称性可得有整数解(xy)=(12,3);当 k=8 时,有整数解 (xy)=(3,48).由对称性可得有整数解(xy)=(48,3).

情况2.2.3 当时,由式(12)有 (9-k)φ(y)=4k.此时式(1)可得,当k=3 时,有整数解 (xy)=(3,3)、(3,6),由对称性可得有整数解 (xy)=(6,3);当 k=6时,有整数解(xy)=(3,15)、(3,24), 由对称性可得有整数解(xy)=(15,3)、(24,3); 当 k=8 时,有整数解(xy)=(3,51)、(3,96), 由对称性可得有整数解(xy)=(51,3)、(96,3).

情况2.2.4 当时,由式(12)有(9-k)φ(y)=k.此时可得,只当k=8时,式(1)有整数解(xy)=(3,30),由对称性可得式(1)有整数解 (xy)=(30,3).

情况2.2.5 当 时,由式(12)有(9-k)φ(y)=5k.此时可得,只当 k=8时,式(1)有整数解 (xy)=(3,132)、(3,150). 由对称性可得式(1)有整数解 (xy) =(132,3)、(150,3).

结合以上讨论,可得定理1.

参考文献

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Solutions of an Equations on Generalized Euler Function φ3(n)

JIANG Lianxia ZHANG Sibao
(School of Mathematics and Statistics, Kashi University, Kashi Xinjiang 844008)

Abstract:The positive integer solutions of equation φ(xy) = k(φ3(x)+ φ3(y))on generalized Euler function φ3(n)and Euler function φ(n)are discussed, when at least one number of x and y satisfies less than or equal to 3.Combining the calculation formula of generalized Euler function φ3(n)and the properties of Euler function φ(n), the equation has positive integer solutions only at k=3,4,6,8 and the corresponding all positive solutions of it are obtained when at least one number of xy is satisfied,and the equation has positive integer solutions only at k=2,3,4,5,6,8 and β = ω(n)- α -1=0,1, the corresponding all positive solutions of it were obtained by using elementary method, when xy are not satisfiedand in case(1)of lemma 1.

Keywords:generalized Euler function φ3(n); Euler function φ(n); positive integer solution

中图分类号:O156

DOI:10.19789/j.1004-9398.2020.06.001

收稿日期:2019-12-21

∗喀什大学校内一般课题[(19)2652]