0 引 言
半对偶模在相对同调代数中扮演着重要角色.文中环R指有单位元的交换环,模指酉模.用p表示投射R-模类.称模C是半对偶模,如果C具有有限生成投射模组成的投射分解,
且标准同态R→HomR(C,C)为同构(详见[1]).用pc表示同构于
(其中P∈p)的模组成的类.称模M是gc投射的,如果存在正合复形
其中当i≥0时Xi∈p；当i<0时Xi∈pc且
使得该复形在函子HomR(-,pc)下仍正合.用gpc表示所有gc投射模组成的类.
设C是半对偶模.由满足下列条件的模M组成的类为Auslander类,记为AC：
且典范同态μCCM：M→HomR(C,C⊗M)为同构.
对偶地,由满足下列条件的模N组成的类为Bass类,记为BC(详见[2])：
且典范同态υCCN：C⊗HomR(C,N)→N为同构.
设x,y是R-模类.若对任意X∈x和Y∈y,都有
则记x⊥y;若都有
则记x┬y.对于模M,如果存在正合序列Χ+≡…→X1→X0→M→0,其中Xi∈x，则称之为M的x-分解.进而，如果Χ+在HomR(x,-)作用下仍然保持正合性，则称之为M的真x-分解.用
表示所有具有真x-分解的模组成的类.对于模M,如果存在长度至少为n的正合列0→Xn→…→X1→X0→M→0,其中Xi∈x,那么称M的x-投射维数为n,记作x-pd(M)=n.否则记x-pd(M)=∞.用
表示具有有限x-投射维数的模组成的类.
Sather-Wagstaff等[3]介绍并讨论了关于半对偶模C的若干相对上同调函子,用HomR(-,-)作用于相应分解所得出的同调函子
和
等[4]研究了关于半对偶C的用
作用于相应分解所得的相对同调函子
和
并得出任意短正合列0→K→G→H→0在函子HomR(-,M*)下都正合,其中
表示模M的示性模.受此启发,本文主要讨论具有有限C-投射分解和C-Gorenstein投射分解的模类的一些正交性质.文中C均指固定的半对偶模,其余概念和记号参见文献[5-8].
1 主要结论
引理1 [4] gpc⊥pc.
命题1 以下关系成立:
证明 (1)p⊆pc⊆
显然成立.下证
对任意
存在正合列0→Pn→…→P1→P0→M→0,其中Pi∈pc.根据引理1可得,上面的正合列用函子HomR(pc,-)作用后仍保持正合.可见
因此
显然成立.下证
对任意
由文献[4]知,存在真gpc-分解.从而
因此
(3)由(1)和(2)易证.
命题
证明 由命题1易知
下证
对任意
M具有真pc-分解Χ,对应的正合列Χ+.Χ+≡…→X2→X1→X0→M→0,其中Xi∈x.在HomR(pc,-)下仍正合.因为pc⊆gpc,所以Χ也是M的gpc-分解.由
知,存在n,使得当i>n 时Xi=0.即Χ+≡0→Xn→Xn-1→…→X1→X0→M→0.从而
因此
为了便于讨论,下面均设R为具有对偶模D的Cohen-Macaulay环,C+=HomR(C,D).由文献[3]易知C+也是半对偶模.
命题3 设
则存在有界复形Χ,使得Χ既是M的真pc-分解，又是M的真gpc-分解.
证明 由M∈BC及[4]知,M具有真pc分解
Χ≡…→X2→X1→X0→X-1→…,其中当i≥0时Xi∈pc,当i<0时Xi=0.注意到pc⊆gpc,所以Χ也是M的gpc分解.下面只需证Χ是有界的且是M的真gpc-分解.由
知,存在n,使得
Χ+≡0→Xn→Xn-1→…→X1→X0→M→0,
其中Xi∈pc.可见复形Χ有界.由引理1知gpc⊥pc,所以用HomR(gpc,-)作用于Χ+仍正合.从而Χ是真gpc-分解.因此Χ既是有界真pc-分解又是有界真gpc-分解.
命题
且
证明
与
的证明过程是完全对偶的,下面只证明前者.对任意M∈ 和N∈gpc+.由文献[4]知
可见
因为
所以
即
因此
推论1 设(ε1)：0→Pn→Pn-1→…→P2→P1→P0→K→0是R模正合列,其中Pi∈pc(i=0,1,…n).则对任意M∈gpc+,(ε)在函子HomR(-,M*)下仍正合.
证明 因为(ε1)：0→Pn→Pn-1→…→P2→P1→P0→K→0是R模正合列,其中Pi∈pc(i=0,1,…n),所以
由命题4知
而
可见K⊥M*且Pi⊥M*,其中i=0,1,…,n.从而序列(ε1)在HomR(-,M*)下仍正合.
推论2 设
是R模正合列,其中Pi∈pc(i=0,1,…,n),G∈gpc.则对任意M∈gpc+,(ε)在HomR(-,M*)下仍正合.
证明 令K=Kerf,则(ε)可分解为2个正合列(ε1)：0→Pn→…→P1→P0→K→0和(ε2)：0→K→G→H→0.由Pi∈pc(i=0,1,…,n)及正合列(ε1)易知,根据文献[4]可得对任意M∈gpc+,正合列(ε2)在HomR(-,M*)下仍正合.即导出序列
0→HomR(H,M*)→HomR(G,M*)→HomR(K,M*)→0,
(1)
正合.又由推论1知序列(1)在HomR(-,M*)下仍正合.即序列
0→HomR(K,M*)→HomR(P0,M*)→HomR(P1,M*)→…→HomR(Pn,M*)→0,
(2)
正合.由正合列(1)和(2)拼接可得长正合列
0→HomR(H,M*)→HomR(G,M*)→HomR(P0,M*)→…→HomR(Pn,M*)→0,
因此(ε)在HomR(-,M*)下仍正合.
引理2 [1]gpc关于任意直和、直和因子及满同态的核封闭.
命题5 设0→A→G1→G0→M→0为R-正合列,其中G0,G1∈gpc.则存在正合列0→A→P⊗C→G→M→0和0→A→H→Q→M→0,其中P,Q为投射模且G,H∈gpc.
证明 令K=Ker(G0→M).在短正合列0→A→G1→K→0中G1∈gpc,由引理2知,存在正合列
其中P为投射模且
考虑如下推出图1和2.
推出图1
推出图2
在正合列
中,
根据引理2知G∈gpc.将正合列0→A→P⊗C→B→0与0→B→G→M→0拼接易得正合列
0→A→P⊗C→G→M→0,
(3)
其中P为投射模且G∈gpc.
另一方面,由
知,存在短正合列
其中Q为投射模且
考虑如下拉回图3和4.
拉回图3
拉回图4
在正合列
中,
由引理2知H∈gpc.将短正合列0→A→H→U→0和0→U→Q→M→0拼接易得正合列
0→A→H→Q→M→0,
(4)
其中Q为投射模且H∈gpc.
定理1 设0→K→Gn-1→…→G1→G0→M→0为R-正合列,其中Gi∈gpc(i=0,1,…,n-1).则以下结论成立：
(i)存在正合列0→K→Pn-1⊗C→…→P1⊗C→P0⊗C→U→0和0→M→U→G→0,其中Pi(i=0,1,…,n-1)为投射模且G∈gpc;
(ii)存在正合列0→V→Qn-1→…→Q1→Q0→M→0和0→V→H→K→0,其中Qi(i=0,1,…,n-1)为投射模且H∈gpc.
证明 对n用数学归纳法.
(i)当n=1时,0→K→G0→M→0正合,其中G0∈gpc.由gc投射模的定义知,存在短正合列0→G0→P0⊗C→N→0,其中P0为投射模且N∈gpc.考虑如下推出图5.
推出图5
易知0→K→P0⊗C→U→0和0→M→U→N→0就是满足要求的正合列.
假设结论对于任意整数k(2≤k<n-1)均成立.下面讨论对于n-1的情形.不妨令L=Ker(G0→M),考虑正合列0→K→Gn-1→…→G1→L→0,其中Gi∈gpc.由归纳假设知存在正合列
0→K→Pn-1⊗C→…→P1⊗C→U′→0,
(5)
0→L→U′→G′→0,
(6)
其中Pi(i=1,…,n-1)为投射模且G′∈gpc.考虑如下推出图6.
推出图6
由G0,G′∈gpc及引理2知X∈gpc.可见存在正合列0→X→P0⊗C→G→0,其中G∈gpc且P0为投射模.构造如下推出图7.
推出图7
将正合列0→U′→P0⊗C→U→0与(5)拼接可得正合列
0→K→Pn-1⊗C→…→P1⊗C→P0⊗C→U→0,
(7)
显然正合列(7)与推出图(7)的第3列0→M→U→G→0就是满足要求的正合列.从而结论对于n-1也成立. (ii)证明过程与(i)类似.
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